Ukoliko matematika više širi svoje kontekste sa sve većim brojem drugih nauka i delatnosti, ukoliko se više ovo "prožimanje" matematikom danas oseća kao opšta potreba i neminovnost, utoliko i filozofski značaj matematike biva upadljiviji i jasniji. Zbog toga je ova "matematizacija" kao sve prisutniji sadržaj celine ljudske delatnosti dostojna filozovskog komentara. "Matematizam" se može javiti i kao jednostranost, preterana pretenzija, težnja da se neodgovarajućim metrom meri i ono što takvom merenju nužno izmiče.

1. Idejni pravci u matematici

Poznato je da postoji više idejnih pravaca u vezi sa matematikom. Neki od njih se odnose na stavove o značaju, smislu, budućnosti pojedinih mate-
matičkih teorija, pa bi mogli izgledati kao " čisto " matematička problematika sa motivacijama i argumentacijom samo unutar matematike. Ovakva izolovanost od vanmatematickih sistema sudova često je prividna - u stvari, biva reč o širim filozofskim teorijama "uvezenim" u matematiku, sa ciljem da se od matematike načini dobar primer za te teorije.Takvi postupci ne ostavljaju, međutim, ni samu matematiku "neoštećenom" - oni dovode do forsiranja jednih a zapostavljanja drugih oblasti ili matematičkih postupaka, što matematici može, ali ne mora koristiti. Drugi pravci se u matematici rađaju, pa prelaze u druge oblasti, težeći da postanu opšti pogled na svet. Takva su proširenja bremenita preteranim uprošćavanjem, ali mogu i znatno osvežavati opštije, vanmatematičke teorije.
Ovde nisu nabrojeni svi idejni pavci jedne ili druge vrste, ili njihove kombinacije i međuvrste. Neki od navedenih pravaca su suprotni jedni drugima, neki su srodni, neki uži od drugih, uklapajući se u njih, neki su neuporedivi i po problematici u odnosu na koju se opredeljuju. Izbor je vršen tako da se, po mogućstvu što efektnije, vidi raznovrsnost dilema i bogatstvo idejnih problema.

1.1. Platonizam

Znameniti grčki filozof Platon izrekao je značajne stavove i kada se radi o filozofiji matematike. Za matematičare je termin "platonizam" prvens- tveno vezan za Platonova shvatanja o matematici, narocito na Platonovo tvrđenje da u objektivnoj stvarnosti nema nikakvih tačaka, linija, površi , itd., ali da je tu ipak reč o entitetima koji objektivno egzistiraju u nekoj drugoj stvarnosti, drugom svetu na koji smo sačuvali uspomene - naše predstave o tačkama, linijama, površima i ostalim geometriskim objektima.
Očigledno je Platonovo stanovište idealističko svojim stavljanjem geo- metriskih objekata van našeg čulnog iskustva, sa jasnim mističnim asocijacijama, i više od toga. Reč je, međutim, o tzv. "objektivnom idealizmu", jer se neka egzistencija van nas samih priznaje – doduše u svetu iracionalnom i mističnom.
Ovakvo shvatanje, naravno, zaslužuje onakve komentare kakve i svaki drugi objektivni idealizam i predstavlja "uvoz" takvog idealizma u matema- tiku iz filozofije, koristeći jedno opšte filozofsko stanovište za tumačenje prirode, porekla matematičkih pojmova. Samu matematiku – njene postupke i razvitak ono ne mora ugrožavati – može čak davati izvesnu slobodu, korisnu za apstraktni razvoj matematike koji je njen bitni sastavni deo, ali ova sloboda nipošto nije nemoguca bez objektivnog idealizma. Ljudska inventivnost, posebno u oblasti matematike, ide znatno preko te realnosti, zalazeći i u oblast mogućeg, a ne samo saznatog, stvarajući veoma opšte teorije koje često nalaze i neočekivane primene, ali znaju i da ostanu same sebi cilj.
Neposredno je da je karakter apstrahovanja koji činimo prelazeći od realnih, čulno dostupnih ( neposredno ili posredno ) objekata na idealizovane, "čiste" matematičke pojmove gnoseološki složen i vezan za ne male filozofske teškoće. Platonističko shvatanje, na način sličan religijskom, kao da prebacuje teškoće o kojima je reč u jednu drugu "ravan", ovog puta mističnu, koja može biti jasna nekom višem umu, a našoj je logici nedostupna. Prebacili smo nepojamno, ili nedovoljno shvatljivo nekom drugom, pa se možemo "mirno" baviti onim što nam je pristupačnije, kako znamo i umeme.
Međutim, ovakva "prebacivanja" ne treba olako shvatiti samo kao put manjeg otpora. Ima u tome i nečega što dublje odgovara mogućnostima našeg saznavanja suštine, koje su opet, sa svoje strane (kao objektivno uslovljene) i same u odredjenoj vrsti sklada (nikako neprotivrečnog ni pravoliniskog) sa pravim "stanjem stvari". Uzimamo, recimo, Gedelove stavove o nemogućnosti da se neprotivrečnost dovoljno razvijenih matematičkih teorija dokaže sredstvima njih samih. Tu je dokazano, onakvom matematičkom strogošću kakvu danas posedujemo, da se rešenje problema neprotivrečnosti (krupnog i osnovnog pitanja jedne teorije) ima rešavati negde "drugde", ne tu gde bi se očekivalo. To "drugde" za matematiku u celini nije pronađeno, ali se odatle mogu izvoditi jedino zaključci u prilog važenja svojevrsne objektivne dijalektike, a nikako, jer za to nema nikakvog osnova, u smeru nekakvih "mističnih dodataka". Ili, uzmimo činjenicu da su dovoljno formalizovane elementarne teorije brojeva nepotpune ako su neprotivrečne, a protivrečne ako su potpune.Čim težimo potpunosti, tj. da u okviru jedne celine rešimo sve što nam se čini da se u okviru te celine može rešiti, odmah se javlja protivrečnost. Ne možemo očekivati "celu istinu" u uskim misaonim okvirima, ma koliko se nama činilo da smo te okvire zamislili dovoljno široko. I za "drugde" se mora štošta ostavljati. To "drugde" ne može biti "obećana zemlja" u kojoj je sve što se da zamisliti rešeno ili rešivo.

1.2. Konceptualizam

Za Emanuela Kanta vezuje se konceptualizam, kao idejni pravac u matematici. Može se reći da se radi o specifičnoj projekciji Kantovog shvatanja o nesaznatljivosti, "stvari po sebi" ,a sa druge strane, kategoričkim tvrdnjama o apriornosti našeg saznanja svrstava se u subjektivni idealizam.
Matematički sudovi su, po Kantu, sintetički sudovi apriori. On poriče da se spoljašnje stvari zaista nalaze u prostoru, pošto je prostorni izgled stvari samo oblik koji im daje naš duh, u kome je prostornost apriorna - deo naše strukture ( mi ne možemo drukčije da shvatamo stvari nego samo prostorno). I Kant smatra da su predmeti geometriskog znanja stvarni, ali samo u okviru naše svesti, jer njihova stvarnost po sebi, ma koliko bila principijalno priznata, ne može biti predmet našeg razmatranja.
Iako su subjektivni i objektivni idealizam uopšte i u matematici dovoljno jasno suprostavljeni jedan drugom, ipak oni imaju mnogo zajedničkog, posebno u njiho- vom prenošenju na teren matematike. Na kraju krajeva, nije bitno da li su idealni geometriski objekti realno postojeći u nekom drugom svetu ili su realno postojeći samo u našoj svesti, jer u oba slučaja oni su suštinski odvojeni od stvarnosti. Vrlo su nategnuti pokušaji da se uspešnost ljudske prakse u primenama matematike protumači polazeći od ovakvih stanovišta. Komentari koje bi bilo nužno dati u vezi sa konceptualizmom umnogome bi bili srodni onima koje smo dali povodom platonizma, s obzirom na njihovu srodnost, i pored svojevrsne suprostavljenosti.
Često se Kantov konceptualizam kritikuje kao pogrešan zbog Kantovih zaključaka o euklidskom prostoru kao jedino mogućem, onome koji nam je, apriornošću koju Kant zastupa, usađen tako da drukčije ne možemo zamisliti. Iz ovih teškoća Kant bi, verovatno, umeo izaći, s obzirom na činjenicu da euklidski prostor zaista ima jedno čvršće utemeljenje u nama, pa bi neeuklidski prostor, ma koliko to protivrečno delovalo, odgovarali nekim "perifernim" domenima svesti. Doduše, ovo "čvršće utemeljenje" euklidskog prostora zasniva se na dosadašnjem iskustvu čovečanstva koje, s obzirom na večnost, nije predugačko, ali pozivanje na iskustvo, u najmanju ruku, ne bi bilo tipično za Kantov način rasuđivanja. Svejedno,čini nam se da glavni pravac kritike ne treba da ide tim putem - važniji je defekt konceptualizma u nategnutoj vezi sa praksom; o mogućim mistifikacijama da i ne govorimo.

1.3. Intuicionizam

"Intuicionizam" je posebno značajan idejni pravac u matematici koji je, može se reći razvio i posebnu logiku i matematičku aparaturu, odbacujući mnogo od postojećeg, unoseći "priličnu pustoš" u klasičnu matematiku, ne priznajući niz njenih principa i postupaka. Ne priznaju princip isključenja trećeg. Odbacuju dokaze pobijanjem suprotne predpostavke. Ne priznaju aktuelnu, nego samo potencijalnu beskonačnost. Prihvataju samo tzv. konstruktivne dokaze itd.
Ovakvim svojim konstruktivizmom, svojom potenciranom strogošću, intu- icionizam bi, na prvi pogled, delovao kao ekstremna težnja sigurnom, opipljivom, realnom, materijalnom - kao da bi bio srodan nekom vrlo opreznom materijalizmu. Odmah, međutim, sam naziv "intuicionizam" kao da protivreči ovakvom utisku. Reklo bi se, prema takvom nazivu, da se radi o bezgraničnom oslanjanju na intuiciju, dakle, na nešto što se ne da uvek uklopiti u kalupe, što može dovesti i do fikcija u krajnjoj liniji. U stvari, naziv pravca i nije sasvim odgovarajući. Jeste da tzv. "ituicija prirodnog broja" igra značajnu ulogu u filozofskom obrazloženju intuicionističkih motivacija, ali se tu intuicija ipak uzima u jednom posebnom smislu, tako da naziv "više obećava" nego što sadržaj (u pogledu neke vrlo široko shvaćene intuicije) pruža. Ipak, pažljivija analiza pokazuje da je osnovna ideja podloga intuicionista pre dealističkog nego materijalističkog karaktera.Ono, dakle, što liči na rigorozno insistiranje na sigurnom, previše rigorozno, može biti motivisano ne toliko egzaktnim rasuđivanjem. Nalazi se i obrnutih primera, da i veće insistiranje na realnosti u osnovnoj motivaciji dovodi do "lebdećih" rezultata. Navedimo sledeće komentare A. Priora (Historija logike):
"Prema Braueru matematika nije sistem formula i pravila već osnovni oblik ljudske djelatnosti, djelatnosti koja ima svoj temelj u našoj sposobnosti da apstrahiramo shvaćanje "dvojstva" iz uzastopnih faza ljudskog iskustva i da uvidimo kako se ta operacija može ponavljati neodređeni broj puta da bi proizvela beskonačno napredujući niz prirodnih brojeva u sistemu matematike, osnovnom na toj prvobitnoj intuiciji, jezik služi samo kao pomoć pamćenju i komunikaciji i ne može sam od sebe stvoriti nov matematički sistem; naše riječi i formule imaju značenje samo ukoliko su podržavane bitno nejezičkom djelatnošću duha.Najposle, formulacija jednog teorema ima smisao samo ako označava mentalnu konstrukciju nekog matematičkog entiteta ili pokazuje nemogućnost entiteta u pitanju. Brauerovo shvaćanje dokaza kao bitno mentalnog korisno je kao korektiv za usko formalističko objašnjenje koje bi htjelo interpretirati dokaz u danom formalnom sistemu, iako je njegov psihologizam filozofski sporan - L. Vitgenštajn je svojim radovima učinio više nego sumnjivom tezu da je jezik samo nebitni pratilac misli, potreban samo za svrhe pamćenja i komunikacije. U intuicionizmu nisu toliko važne njegove psihologističke crte koliko njegov naglasak na konstruktibilnosti i oblik matematike koji određuje njegov kriterijum smisaonosti".
Navela sam ovako dug Priorov citat zbog njegove jasnoće i sadržajnosti. Bitnost ljudskog razlikovanja dvojstva, "mnogo", "drugog", zaista je bitna za intuitivno shvatanje prirodnog broja i tu su, čini nam se, intuicionisti u osnovi u pravu. Ali, potcenjivanje značaja jezika koje zatim dolazi izgleda prenagljeno i ne vidi se po čemu nedvosmisleno proističe iz prethodnih premisa. Kada su došli do "mentalne konstrukcije nekog matematičkog entiteta", intuicionisti će odjednom, čini se bez prave potrebe, apsolutizovati tu mentalnu konstrukciju u smeru Kantovog konceptualizma. Ne vidi se dovoljno zašto ono što je "zdravo" u intuicionističkom shvatanju konstruktibilnosti mora biti naslonjeno na kantijanski subjektivizam. Ali, dajmo reč S. Barkeru :
"Čitavo učenje da brojevi i skupovi počinju da postoje zahvaljujući čistoj intuiciji procesa brojanja suviše je neodređeno i podložno kritici, ako se uzme sasvim doslovno. Šta bi trebalo da bude ta "čista intuicija"? Kakav dokaz imamo da duh u "čistoj intuiciji" može da broji samo konačnom brzinom? Zar duh ne bi mogao da broji beskonačno brzo u "čistoj intuiciji" i tako da "konstruiše" transfinitne brojeve? Neobičnost ovog učenja jasno dolazi do izražaja kada se setimo da je ono posledica Kantove teorije, a verovatno i Brauerove, da zakoni brojeva važe samo za stvari koje duh intuitivno saznaje, a ne za stvari kakve su po sebi. Shvatanje da se broj ne može primeniti na stvari kakve one zaista jesu po sebi znači da stvari u stvarnosti nisu ni jedne ni mnoge. To je suviše blizu protivrečnosti da bi bilo plauzibilno."
Iz ovog Barkerovog citata može se zaključiti da intuicionisti, u svojoj matematičkoj praksi tako trezveni, uvođenjem kantijanstva s nedovoljno jasnom argumentacijom dolaze do apsurda u tretiranju "stvari po sebi". Ako, dakle, posmatramo ovaj pravac u smislu opredeljivanja oko toga da li on znači "uvoz" filozofije u matematiku ili obrnuto, možemo zaključiti sledeće: opažajuci izvesne logičke teškoće u matematici (koje nisu toliko apsolutne koliko se to može učiniti na prvi pogled) oni daju svoje varijante koje su matematički interesantne i koje svakako znače vredan prilog razvitku matematičkih nauka. Tražeći obrazloženje za svoje postupke oni, nedovoljno motivisano i "prekoračujući ovlašćenja" koja im matematika daje zovu u pomoć konceptualističku filozofiju. To jeste neka vrsta "uvoza filozofije" u matematiku, ali ne inicijativom filozofije koja bi u matematici tražila svoju potvrdu, nego nastojanjem matematičara da dublje obrazlaže svoju matematičku reformu, koja bi i bez naručite pomoći filozofije, posebno konceptualističke, imala svoga smisla.

1.4. Nominalizam

"Nominalizam" postoji kao teorija sholastičke filozofije, a u skladu sa ovom je i nominalistički pravac u matematici. Po nominalistima, univerzalije nemaju realnost - to su samo reči, imena. Realnost se priznaje samo pojedinačnim fizičkim objektima. U matematici su nominalistička shvatanja na određen način srodna intuicionističkim, u smislu "osiromašenja" nekih oblasti klasične matematike. S druge strane, nominalizam ima jednu "realističniju" crtu, svojim pouzdanjem u pojedinačne predmete, koje, u nekom smislu, izgleda bliže priznanja njihovog objektiviteta, u smislu adekvatnosti objektivnoj stvarnosti. Odricanje realiteta opštijim pojmovima, s druge strane, dopušta i "provalu" formalizma, kada se "imenima" ipak počne manipulisati."Imena" konstituišu jedan "čisto" ljudski svet koji onda pogoduje subjektivizmu i previše se odvaja od inače priznatih pojedinačnih predmeta. Reč je, ipak , o idealističkoj filozofiji - prizna se objektivna realnost, ali onda dolazi do prevelikog udaljavanja od nje. Nominalisti nailaze na bitne teškoće kada treba dati koliko - toliko koherentnu teoriju prirodnih brojeva. Ovo zbog toga što korespondiranje prirodnih brojeva pojedinačnim objektima uvek ostaje na konačnom - prelazak na beskonačnost ne izgleda ničim opravdan.

1.5. Realizam

"Realizam" u matematici, a i u filozofiji šire, nije ono što mu ime kaže. Suprotan je intuicionizmu jer, slikovito rečeno, priznaje egzistenciju, odn. realnost svemu što se samo zamisliti može. Matematički pojmovi, "idealni" matematički objekti, postojeći su isto onako kao i bilo koji objekt čija se egzistencija može čulno verifikovati. Rasel je izraziti predstavnik ovog pravca. "Realizam" bi, znači, bio u tome što se granice realnosti znatno šire. Ovakav je, međutim, "realizam" bitno udaljavanje od materijalističkog shvatanja sveta - ni religiozna mitologija ne odriče (baš naprotiv) "realnost" svojim konstrukcijama. "Realističko" shvatanje u matematici pogoduje formalizmu koji ne vodi mnogo računa o poreklu i prirodi pojmova kojima operiše, zadovoljavajući se "pravilima igre" i njihovim ko- mbinacijama. Samo je naizgled protivrečna česta pozitivistička nastrojenost kod predstavnika "realističkog" pravca, budući da preterana širina koju oni imaju prema stvarnosti, u stvari, izražava jednu ravnodušnost u odnosu na ontološku pro- blematiku matematičkih "bića", koja se, međutim, u matematici ne da izbeći, pri čemu joj se ne sme prilaziti tako kao da je sama sebi cilj.

1.6. Formalizam

"Formalizam" je stanovište u matematici koje zauzimaju mnogi "realisti", ali ne samo oni, a koje od matematike čini svojevrsnu "pasijans" problematiku,svodeći je na "pravila igre", operisanje entitetima sasvim nezavisno od porekla i ciljeva. Kako piše Barker[3]:"Na taj način će gledište formalista biti da ne postoji značenje ili istinitost matematičkih sistema; ti sistemi uopšte ne sadrže iskaze, već samo znake. Jedna vrsta sistema nije nikad "tačnija" od drugih (pretpostavljajući da su obe pravilno formalizovane). Kada se uredi kao formalizovani sistem, teorija skupova intuicionista čini različitu igru znacima od teorije Zermela ili Fon Nojmana, ali su sve to dobre igre. Koju treba igrati? Ako se pokaže da jedna od njih, u dužem vremenskom periodu, ima pouzdanije i plodnije primene u nauci nego druge, onda je to razlog da joj damo prednost".
Ove poslednje tvrdnje, očigledno, nisu lišene osnove, samo su postavljene suviše aprioristički - kao da treba prosto "liferovati" teorije pa posle gledati kako se koja slaže sa realnošću, ako je to slučaj - kao da uvid u stvarnost nije važna ako ne i presudna motivacija pri kreiranju "pravila igre".
Formalizam se, međutim, ne javlja samo kao idejno stanovište u tumačenju matematike, nego i kao efektivan pristup nekim matematičkim problemima, posebno problemu neprotivrečnosti matematičkih teorija. Ovaj pristup A. Prior objašnjava na sledeći način: "Teorija sama mogla bi da sadrži simbole za transfinitne kardinalne brojeve i druge idealne elemente, ali to ne bi bila prepreka za dokaz konsistentnosti, u takvom jednom dokazu od nas se samo traži da te simbole tretiramo kao opažajno date predmete i da pokažemo da se oni neće nikad pojaviti u nekoj formuli čija je negacija takođe dokaziva. S druge strane, Hilbert je vjerovao da se beskonačni pojmovi, iako su dopustivi u samoj matematici, ne smiju trpjeti u teoriji dokaza koja treba da osigura konsistentnost". Kao što se vidi "formalističko" stanovište je srodno "realističkom" u krajnjoj liniji - ono je svojevrsno "produžena ruka" realističkog stanovišta u njegovoj matematičkoj operacionalizaciji, sa još naglašenijim pozitivističkim akcentom. Finitnost u algoritmima svedoči o matematičkoj skrupuloznosti. Iako Hilbertov program, vezan za problema- tiku neprotivrečnosti, nije doživeo potpun uspeh, on je ipak doneo lepih uzgrednih matematičkih plodova.

1.7. Logisticizam

"Logisticizam" je idejni pravac koji, u različitim vidovima, svodi matematiku na logiku, ili bar njene delove. I pored suštinske i duboke srodnosti, logika i matematika, međutim, nisu identične ni sa gledišta metoda ni sa gledišta objekata istraživanja. Može se reći da je srodnost u toliko veća ukoliko logika više teži egzaktnosti a matematika formalizaciji. Ono što u matematici pripada intuiciji, kao i sve ono što matematiku posredno ili neposredno potičući iz spoljašnjeg sveta inspiriše i koriguje, ne podleže potpunoj formalizaciji. S druge strane, ni logika se ne može svesti samo na formalnu logiku ukoliko želi da bude dijalektička, da obuhvata "celu istinu". Uočljivo je da u današnjoj formalnoj logici matematička logika zauzima sve vidnije mesto. Kao i mnoga jednostranost logisticizam u "čistom" vidu vodi formalizam, ali se I tu ne mogu osporiti značajni matematički rezultati, važni i za matematiku i za logiku, do kojih su došli predstavnici ovog pravca.

1.8. Konvencionalizam

"Konvencionalizam" je svojevrstan "izvoz" matematike u oblasti šireg važenja. Učenje da su matematičke teorije (što se kod konvencionalista odnosi uopšte na zakone prirodnih nauka) samo dogovori, manje ili više "zgodne" ili "udobne" za primenu u praksi, a da su u osnovi naše, subjektivne konstrukcije, oštro je kritikovao Lenjin u svom znamenitom delu Materijalizam i empiriokriticizam, klasifikujući ga kao subjektivni idealizam. Čuveni matematičar, fizičar i filozof Anri Poenkare jedan je od najviđenijih predstavnika ovoga pravca. S obzirom na zaista veliku ulogu konvencije u matematici, ipak je ovde mogućnost zloupotrebe pri prenošenju u druge oblasti i moguća i velika, možda veća nego kod svih ostalih pobrojanih "izama". Kada se ovakvi konvencionalistički stavovi prenesu u politiku i moral, oni mogu poslužiti kao pravdanje svake proizvoljnosti, nedoslednosti, raznih ogrešenja, sve do zločina. Konvencionalizam, kada se potencira do apsurda, relativizira svaku čvrstinu i pouzdanost - promenimo samo konvenciju i sistem aksioma, proglasimo, po dogovoru, da se "rase" dele na "niže" i "više", pa će se moći pravdati i hitlerovske dušegupke.

1.9. Matematizam

U poslednje vreme se sve više govori o "matematizmu", kao što smo već u početku naglasili - utoliko više ukoliko se širi "matematizacija" ostalih nauka. U preteranosti "matematizam" priznaje se samo ono što se matematizira i smatra se da matematizacija nema granica. Slične stavove zastupao je veliki Lajbnic, koji je inače svojim genijem bitno doprineo matematizaciji mnogih oblasti koje su dotle izgledale nedostupne svakoj egzaktnosti. Lajbnic kaže: (citirano prema A. Prioru): "Dok sam još bio dječak koji poznaje samo običnu logiku, i nije učio matematiku, dolazila mi je misao, ne znam po kom instinktu, da se može pronaći analiza ideja iz koje bi na nekakav kombinatorni način istine mogle nastajati i ocjenjivati se pomoću brojeva." Takozvana "gedelizacija" svakako je jedno od ostvarenja ove Lajbnicove težnje. Ali, kada je reč o moći i ograničenjima matematike, dajemo reč velikom sovjetskom matematičaru Kolmogorovu: "Principijalno, oblast primena matematičke metode neograničena je: svi oblici kretanja materije mogu se matematički izučavati. Međutim, uloga i značaj matematičke metode različiti su u različitim slučajevima. Nikakva određena matematička shema ne iscrpljuje svu konkretnost realnih pojava; zato proces saznanja konkretnog teče uvek u borbi dveju tendencija: s jedne strane, izdvajanja oblika izučavanih pojava i logičke analize tih oblika, s druge stane, otkrivanja momenata koji se ne uklapaju u ustanovljene forme, i prelaza na razmatranje novih formi, gipkijih i koje bolje obuhvataju pojave. Ako se sve teškoće izučavanja bilo kog kruga pojava sastoje u ostvarivanju druge tendencije, ako je svaki novi korak vezan za kvalitativno nove strane pojave, tada matematička metoda odstupa na zadnji plan; tada dijalektička analiza sve konkretnosti pojave može biti samo pomračena matematičkom shematizacijom. Ako, nasuprot tome, relativno proste i stabilne forme proučavanih pojava obuhvataju te pojave sa velikom tačnošću i potpunošću, no zato već u granicama tih fiksiranih formi niču dovoljno teški i složeni problemi, koji zahtevaju specijalna matematička istraživanja, posebno, stvaranje specijalne simbolike i specijalnog algoritma za svoje rešenje, to mi dolazimo u sferu gospodstva matematičkog modela."
Jednostavno govoreći, matematika "uspeva" pri relativnoj stabilnosti pojmova, a glavni zadatak joj je da objašnjava njihove uzajamne odnose. Jasno je da ovakav iskaz može predstavljati samo jedno od bližih objašnjenja u vezi sa namenom matematike, a ni izbliza njenu definiciju.

2. Korišćenje matematičkih rezultata

Pokušaji filozofskog idealizma i drugih jednostranih filozofskih pravaca da rezultate prirodnih i matematičkih nauka koriste za svoje sopstveno opravdanje ne mimoilaze, kao što smo upravo videli, ni matematiku. Ipak, rekli bismo da je fizika više zloupotrebljavana u smislu, recimo, takvih paničnih krilatica kao što je ona poznata "materija iščezavanja", kojom su "duhovi" direktno uvođeni na poprište. Kada je reč o matematici, njena su jednostrana tumačenja, sve u svemu, išla više u smeru agnosticizma i pozitivizma. Konvencionalizam ostaje kao najizoštreniji vid moguće zloupotrebe matematike u vanmatematičke svrhe. Pokušaji obaranja dijalektike pod izgovorom da matematika, uzor egzaktnosti, ističe neprotivrečnost kao uslov bez koga se ne može, mogu se smatrati, razvojem matematike same, obesnaženim do kraja.
I matematika je trpela nasilje raznih dogmatskih sputavanja, iako možda ne u onako drastičnom vidu kao što se to dešavalo kod nacističkog proglašavanja nekih oblasti savremene fizike za "jevrejsku izmišljotinu" ili staljinističkog za "buržoasku nauku". Današnje reakcije na preterani larpurlartizam, tamo gde se on javlja, sasvim su drugoga tipa. Matematika već ima dugo, vekovno iskustvo. Prebrodila je krize, videla da je kriza u stvari stalna, ali da se kroz nju dolazi do novih uspeha. Ona sve više nalazi pravu ravnotežu između onoga što znači, kroz apstrakciju, njenu stvaralačku slobodu nezavisno od toga čemu služi i onoga što joj se, kao sve novi i novi zahtevi realnog života, neprestano nameće kao zadatak. U ovom smislu sve joj manje smetaju jednostrani idejni komentari.

3. Vera u svemoć matematike

Veliki biolig Čarls Darvin izrazio je, u svom životopisu, žaljenje što se nije bolje upoznao sa matematikom, jer mu se činilo da ljudi koji vladaju tom naukom imaju neko "naročito shvatanje". Iako je dobro vladao Euklidovim Elementima, osecao je bespomoćnost pred osnovnim načelima algebre - činilo mu se da nikad ne bi mogao da ih shvati do kraja. Ipak je i kasnije povremeno prelistavao matematičke tekstove, sa svojevrsnom nostalgijom, iako bez dovoljno razumevanja. Bio je primer onoga što se naziva "strahom od matematike", koju je inače visoko cenijo.
Iako su prošla vremena Teodosijevog i Justinijanovog kodeksa u kojima su matematičari izjednačeni sa zločincima i vračarama, a matematika zabranjena kao "veština dostojna osude", iako se u mnogim stručnim, i ne samo stručnim, krugovima otišlo i u suprotnu krajnost - veru u svemoć matematike, ipak su i danas u vezi sa ulogom matematike i njenim mestom u okviru integralnog pogleda na svet žive mnoge nedoumice i nepoznavanja.
U jednom nedeljnom listu piše o Bertranu Raselu, kao dobitniku Nobelove nagrade za književnost, sa naročitim naglaskom na Raselovoj svestranosti. Ipak, nijednom rečiju nije spomenuto da je Rasel bio i matematičar, iako je on to bio na najvišem nivou, tako da će, vrlo verovatno, baš po svojim matematičkim rezultatima prvenstveno i ostati u istoriji nauke. Spomenuto je da je bio sklon prirodnim naukama i to dokumentovano činjenicom da je bio lični prijatelj Alberta Ajnštajna. Da je pri tome napisao i jednu od najboljih popularizacija Ajnštajnove teorije - nije rečeno.
Ovakvo pisanje o Raselu, i ne samo o njemu, uopšte nije retkost. Zato se, izgleda, ne treba preterano plašiti ponavljanja i navođenja opštih mesta, nego koristiti svaku priliku za potenciranje nekih osnovnih činjenica o matematici. Na upornost i tvrdokornu rasprostranjenost zablude može se odgovoriti samo suprotnom upornošću, ali bolje argumentovanom i ubedljivije logički strukturiranom - tek tada se stvaraju neki od preduslova za razbijanje tako okorelih nerazumevanja.

4. Poznavanje matematike formira sliku sveta

Ne padajući u nepotrebne lamentacije, recimo koju reč povodom Darvinove misli o "naročitom shvatanju matematičara". Do koje mere poznavanje matematike formira sliku sveta?
Već i iz dosada izloženog se vidi da nema jednoznačnog usmerenja kome bi u ovom smislu matematičko obrazovanje vodilo svakog mislioca bez razlike. Mislim da vrhunski matematički rezultati umonogome relativiziraju mnoga priprosta verovanja i dovode u pitanje brojne predrasude o apsolutnoj tačnosti, o tome da je u matematici sve prosto i jasno ("kao dva i dva - četiri"), da je matematika nauka u kojoj je odgovor uvek "da" ili "ne". Proces neeuklidske geometrije, teorije skupova, matematičke logike značio je u mnogome "kopernikanski obrt". Došlo je, reklo bi se, do ambisa, do krajnjih mogućih granica ljudske misli. A ipak su i te granice pređene. Najjapstraktnije teorije pokazale su se veoma pogodnim za primene. Ono što je na prvi pogled ličilo na krizu matematičke i ljudske misli uopšte, sve više je postajalo novo, snažno oruđe u savladavanju prirode.
U činjenici da neprotivrečnost matematike u celini ni do danas nije dokazana može se videti i svojevrsna objektivna dijalektika. Za formalizovane elementarne teorije brojeva, rekli smo već, dokazano je da su protivrečne ako su potpune, a da neprotivrečnost povlači za sobom nepotpunost. Čim težimo sveobuhvatnosti, totalitetu, odgovoru na sva pitanja, protivrečnost se javlja kao neminovnost. Neprotivrečnost se ostvaruje samo u teorijama užeg dometa. Pa ipak je težnja ka potpunosti legitimna tendencija koja dovodi do dubljih saznanja. Dijalektički je protivrečna ova stalna težnja ka neprotivrečnosti, koja ne dovodi do Sveznanja, ali koja nije ni obrtanje u krugu – uvek na putu do zvezda kroz trnje.
Matematika, koegzistencijom međusobno suprotnih teorija u smislu euklidske i neeuklidske geometrije, teorija sa potvrdnim ili odričnim odgovorom na Zermelovu hipotezu ili hipotezu kontinuuma, čak istovremenom primenljivošću tih suprotnih teorija, pruža lepe, prirodne primere jedinstva suprotnosti, koji nisu samo zgodno konstruisane sheme sa ciljem da se dokazuje dijalektika, nego pojave bitne za glavnu maticu matematike.
Veoma osobeni matematički pristup komunikaciji sa objektivnom stvarnošću sastavni je, neodvojivi deo onih temelja na kojima se, u najširem smislu, može konstituisati materijalistički pogled na svet. Iako operiše apstraktnim pojmovima, matematika je daleko od svakog voluntarizma (pri čemu unutar i van nje ne nedostaju pokušaji da se i njoj nametnu voluntaristički tokovi, sami sobom zadovoljni).
Rezultati teorije o rešivosti matematičkih problema pokazuju da u matematici nije sve u "ili - ili+" nego i te kako i u onom dijalektičkom "i jedno i drugo". Egzistencija umesno postavljenih pitanja na jeziku date teorije, na koja u okviru iste teorije nema odgovora, svedočanstvo je o prožetosti matematike dubokim dilemama.
Izložili smo kako ni matematika nije imuna od zastranjivanja raznih vrsta. Prenaglašavanje jedne komponente u odnosu na druge i u odnosu na celinu stvari i u matematici, kao i u svakoj drugoj disciplini, znači odstupanje od duha nauke same, kome je imenentan odgovarajući sklad, ma koliko uslovan, dijalektičan i dinamičan on bio i koji je više nezadrživa težnja harmonijom, nego harmonija sama.

5. Matematička misao

Platonizam, konceptualizam, nominalizam, intuicionalizam, realizam, lo- gisticizam, formalizam, konvencionalizam, matematizam, koje smo ukratko analizirali, predstavljaju neke od putanja kojima se ljudska, matematička misao kretala u cilju saznavanja sebe same, ko je, šta je i kuda se uputila. Uvek se polazilo od nekih ispravnih zapažanja, od objektivno prisutnih pojava i iskustva, dolazilo u tako izabranom smeru do važnih zaključaka koji su se ugrađivali u nove, proširene i produbljene temelje nauke, ali se onda zalazilo u stranputicu, kadgod se htelo zatvoriti oči pred kontraargumentom i kontraprimerom, kadgod se hteo uokviriti krug, proglasiti da je apsolut dostignut.
Od svih spomenutih matematičkih "izama" izdvojili smo konvencionalizam kao, u izvesnom smislu, društveno najrelevantniji, ako bude iskorišćen za pravdanje raznih antihumanističkih ideoloških konstrukcija. Iako smo u raznim prilikama isticali "stihijski materijalizam" jednog Poenkarea, ne pripisujući mu nikakve mizantropske namere, jer ih kod njega nije bilo, nikako nismo zatvorili oči pred hladnom amoralnošću koju i danas svakodnevno srećemo, a čija konvencionalističko – pozitivistička obojenost želi da deluje kao ledena nepristrasnost, "čista" naučnost, potpuna objektivnost. Ma koliko mi bili daleko od vulgarno materijalističkog traganja za bukvalnim prisustvom klasnog interesa iza svakog pravca u nauci i filozofiji, ma koliko bili svesni da već u ličnostima klasika marksizma Marksa, Engelsa i Lenjina imamo eklatantne primere prevazilaženja vlastite klasne pozicije, ipak ne možemo previđati vrlo često poklapanje pozitivističke orjentacije u teoriji sa konzervativizmom u životnoj političkoj praksi, pri čemu se pozitivizam zna kamuflirati na vrlo različite načine, često praznom emfazom u prilog značaja nauke koja spolja liči na oduševljenje za budućnost čovečanstva, a u stvari je samo dimna zavesa pred zloupotrebom nauke u nehumane svrhe.
Bilo je matematičara (kao Basel) za koje svet van matematike nije postojao, ali i takvih čija raznovrsnost upravo zadivljuje. Njutn i Lajbnic su blistavi prestavnici ove svestranosti: Njutn kao fizičar, matematičar, astronom, hemičar, filozof, istoričar, ekonomist, Lajbnic kao matematičar, filozof, fizičar, hemičar, biolog, geolog, psiholog, pravnik, medicinar, istoričar, krećući se u svim ovim oblastima ne amaterski nego kreativno, ostvarujući u njima dubok trag. Naš Mihajlo Petrović, matematičar koji je poznavao i nekoliko drugih prirodnih nauka, čuveni je ribar i ribarski stručnjak, pasionirani putnik i putopisac, poznavalac književnost, filozof i muzičar. Kao što je rekao Vajerštras, "onaj ko u sebi nema nešto i poetskog, neće nikad biti potpun matematičar".Veza između matematike i poezije kod Pola Valerija odraz je njegovih svesnih nastojanja i njegove stvaralačke prirode u kojoj su se ove sklonosti suštinski preplitale.
Naročito je sklonost ka filozofiji prisutna kod matematičara. Dekart je sanjao o takvoj nauci koja bi bila neka vrsta univerzalne matematike. Laplas razmišlj o iluzornoj, univerzalnoj formuli sveta. Pitagora u vezi sa pojmom broja zasniva čitavu mističnu filozofiju sa određenim kultom i ritualom. Poljski matematičar Vronski osnovao je "mesijanizam" kao specifičan filozofski smer. Veliki Poenkar, predstavnik konvencionalizma, bio je loše filozofske srece ako se njegov pravac gleda u celini, ali su pojedinačne njegove gnoseološke zasluge neosporne. Paskal je svojom mističnom filozofijom, čije su mnoge dubine ipak priznate, širem krugu čak poznatiji kao filozof. Opšti pogled na matematičare kao filozofe kao da daje utisak bilo jedne težnje ka totalitetu, sveobuhvatnosti, bilo sveopštoj dedukciji, bilo konvencionalnom shvatanju raznih kategorija, čemu, i jednom, i drugom, i trećem, možemo delimično tražiti poreklo i u matematičkim navikama autora.
Raznovrsna je i angažovanost matematičara van matematike, posebno u oblasti društvenih delatnosti. Bilo ih je koji su hteli i znali da sagrade svoju kulu od slonove kosti, ali i onih čije je učešće imalo vidne rezultate. Izvrsni francuski matematičar Penleve postao je predsednik vlade. Dva sekretara KPJ, Filip Filipović i Sima Marković, bili su matematičari. Francuski matematičar Loran Švarc, predstavnik teorije distribucija, jedne od najapstraktnih oblasti, čije je poreklo iz prakse neosporno, predstavnik u isto vreme larpurlartističke matematičke pasijans - filozofije, istaknuti je predstavnik francuske levice, dugogodišnji Sartrov saradnik i član Raselovog suda u vezi sa Vijetnamom. Analogno Balzaku, Koši, koji u svom delu predstavlja nezadrživu težnju novom, u političkim shvatanjima ostaje najkonzervativniji rojalista - pristalica starije grane Burbona, kome je čak Luj Filip suviše levi, tako da 1830. emigrira, da se vrati tek posle garancije francuske vlade da se ne mora politički angažovati (garancija koja se, po pravilu, ne daje nikome, ali koja svedoči o izvanrednom Košijevom ugledu).

Teškoće ovladavanja matematikom vezane su za njen neprekidni rast, koji je doveo i do permanentne krize u nastavi. Jer, mnogo više novog i značajnog se javlja nego što, izgleda, staro zaslužuje da bude odbačeno. I ovde dolazi do izražaja ona stara istina da je ontogeneza rekapitulacija filogeneze, pa je, izgleda, i pojedinačnom umu lakše da u učenju matematike pođe od pojmova koje je čovečanstvo srelo u svojoj mladosti. Čini nam se da je pogodno poslužiti se sledećim citatom britanskog matematičara Brodbenta: "Kao temelj velikog dela naše današnje nauke i tehnike, i, potpuno isto toliko važna kao velika stvaralačka umetnost, kao univerzalni jezik, kao temeljni način mišljenja, matematika je sastavni deo naše moderne kulture, i tu tvrdnju teško da bi mogao ko da porekne. Možda tu tvrdnju ponekad dočekuju sa smehom? Šta - kažu kritičari - hoćete li ozbiljno da tvrdite da Lebegov integral ima isto tako veliku i isto tako duboku privlačnost i metso u našoj kulturi kao, recimo, Izgubljeni raj ili Vatikanska Afrodita? Mogli bismo odgovoriti da je prebrojavanje glava vrlo loš način procenjivanja vrednosti umetničkog dela. Ali postoji i bolji odgovor, naime, smela tvrdnja da ja verujem da isto toliko ljudi može da ceni i odista ceni Lebegov integral koliko ih ceni Izgubljeni raj, jer pri tom ocenjivanju ja nameravam da isključim sve one koji će vam spremno reći da je Milton veliki pesnik, a Izgubljeni raj veliki spev, iako nikad nisu pročitali nijedno pevanje tog speva, niti ikada nameravali da ga pročitaju, niti bi čak razumeli i jedan red kada bi to i učinili. Ne, izmerite oba polja obaveštenog precenjivanja i siguran sam da se neće mnogo razlikovati međusobom."

6. Ulaženje u drukčiji način mišljenja

Ako ima matematičara koji u svom pogledu na svet pokazuju priličnu skučenost, onda se uzroci ne mogu naći u matematici samoj, nego su složeniji. Ima matematičara urođenih u svoju nauku na način koji se ne može nazvati larpurlartističkom u nekom programiranom smislu, gde nije reč ni o uživanju radi uživanja, nego o nekoj vrsti pasivne opsednutosti, gde van toga prosto ništa ne postoji, a sam taj rad kao da ne daje naročite stvaralačke impulse. Takvi, ali i mnogi pravi matematičari u znatnom stepenu su lišeni komunikativnosti i obilato doprinose neinformisanosti o matematici, koja je široko rasprostranjena, čak i kod mnogih od kojih se to ne bi moglo očekivati. Naći će se intelektualac koji (u doba kada se teško prebrojavaju i nove matematičke discipline, a o desetinama hiljada novih naučnih radova da i ne govorimo) misle da se na fakultetu uči samo srednjoškolska matematika, ali na veoma uporan način, tako da bi diplomirani matematičar bio onaj ko ume da reši sve srednjoškolske zadatke. Ovome je krivo i sporo menjanje programa - u osnovnoj i srednjoj školi doskora se predavao samo deo matematike, dok se u većini drugih predmeta ipak daje nauka u celini, mada na nivou koji odgovara uzrastu.
Ima kod matematičara prezira prema svakoj "priči" van matematičkih formula, kao nečemu što hoće da ruši matematičku strogost. Kao da strogost i ta "priča" ne mogu da koegzistiraju jedna uz drugu, i to tako da jedna bez druge ne ide. Ima i straha od profanacije, nekog neopitagorejskog samozadovoljstva u stajanju u najužem krugu.
Potrebno je, znači, višestrukim i višestranim naporima rušiti pregrade, graditi mostove, upoznavati se međusobno. To ne ide bez napora, to izlaženje iz sopstvene ljušture, jer ulaženje u drukčiji način mišljenja, naravno, nije uvek lagodno ni glatko. Živimo, međutim, u vremenu u kome veća otvaranja u svim pravcima nemaju ozbiljnije alternative.

Literatura:

[1] Stojković Andrija: Filozofija, matematika i prirodne nauke ,1963.

[2] Šikić Zvonimir: Novija filozofija matematike ,1987.

[3] Barker Stefan: Filozofija matematike ,1973.

[4] V.N.Trostnikov: Što su konstruktivni procesi u matematici: povjesni, matematički i filozofski aspekt ,1983.

[5] E.Stipanić: Istorija i filozofija matematike, Dijalektika 4, Beograd 1977.

[6] A.N.Vajthed: Nauka i moderni svet (prevod sa engleskog na srpskohrvatski), Nolit, Beograd 1976.

[7] J.Hintikka: The philosophy of mathematics, Oxford university press, London 1969.

PROČITAJ / PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:

preuzmi seminarski rad u wordu » » »

Besplatni Seminarski Radovi